Makalah Limit Fungsi

BAB  I

PENDAHULUAN

A.Latar Belakang Masalah

Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus.

            Cobalah kamu mengambil kembang gula. Kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak 5 kali. Setelahdihitung, pengambilan pertama terdapat 5 bungkus, pengambilan kedua terdapat 6 bungkus, pengambilan ketiga 5 bungkus, pengambilan keempat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus.

Jadi,dirata-rata pada pengambilan pertama sampai pengambilan kelima adalah      =5,8, dan dikatakan hamper mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari,banyak sekali kita temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas dsb. Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian Limit.

B. Identifikasi Masalah

1.      Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif?

2.      Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar?

C. Metode Penelitian

1.      Ruang Lingkup Kajian

Lingkup kajian pada makalah ini pada dasarnya mencakup:

1

Pengertian, Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati nilai Tertentu dan Bila Variabelnya Mendekati Tak Terhingga, Teorema Limit, Serta Limit Fungsi Trigonometri.

                                                      

2.      Teknik Pengumpulan Data

Adapun pengumpulan data yang dilakukan oleh penulis dalam membuat makalah ini dengan menggunakan dua metode, yaitu:

-          Melalui media elektronik dengan mengambil jurnal-jurnalnya pada lokasi(situs) yang berbeda.

-          Mengambil atau mengutip dari buku Matematika.

3.      Sistematika Penulisan

Makalah yang berjudul “Limit” ini tersusun dalam 3 bab, yaitu:

Bab Pertama, merupakan bab Pendahuluan, menguraikan tentang Latar Belakang, Identifikasi Masalah, Metode Penelitian dan Tujuan Pembahasan.

Bab Kedua, merupakan bab ang membahas masalah Limit, menguraikan tentang Pengertian, Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati nilai Tertentu dan Bila Variabelnya Mendekati Tak Terhingga, Teorema Limit, Serta Limit Fungsi Trigonometri.

Bab Ketiga, merupakan bab Penutup yang meliputi kesimpulan dan saran.

D. Tujuan Pembahasan

1. Untuk Mengetahui Pengertian dari Limit.
2. Untuk Mengetahui Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati nilai Tertentu dan Bila Variabelnya Mendekati Tak Terhingga
3. Untuk Mengetahui Teorema Limit
4. Untuk Mengetahui Limit Fungsi Trigonometri.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    LIMIT FUNGSI ALJABAR

1.      Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif

Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.

Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut:

Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) =  (tidak dapat ditemukan)

Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

x	0	1,1	1,5	1,9	1,999	2.000	2,001	2,01	2,5	2,7
f(x)	1	2,1	2,5	2,9	2,999	???	3,001	3,01	3,5	3,7

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) = : mendekati 3. jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis :

2.      Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu

Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

a.      Subtitusi

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

 Tentukan nilai !

Penyelesaian :

Nilai limit dari fungsi  f(x) = x² – 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)

     

                                       

Artinya bilamana x dekat 3 maka x² – 8 dekat pada 3² – 8 =9 – 8 = 1 Dengan ketentuan sebagai berikut:

a)      Jika f (a) = c, maka

b)      Jika f (a) = , maka

c)      Jika  f (a) = , maka

b.      Pemfaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

 Tentukan nilai !

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) = .

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai, kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:

 

Jadi, =

                              =

                              = 3 + 3 = 6

c.       Merasionalkan Penyebut

Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

 Tentukan nilai !

Penyelesaian:

     =

                              =

                              =

                              =

                              =

                              = 1 . 0

                              = 0

d.      Merasionalkan Pembilang

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

 Tentukan nilai !

Penyelesaian:

=  .

=

=

=

=  

=

=  = =

3.      Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak Berhingga

Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya:

             dan 

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:

a.      Membagi dengan pangkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk mencari nilai. Caranya dengan membagi f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x).

Contoh:

 Tentukan nilai limit dari:

a.                       b.  

Penyelesaian:

a.       untuk menentukan nilai dari  perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.

=

                     =

                     =

                     =               =                  = 2

b.      Perhatikan fungsi h (x) =  ! Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x² yang terdapat pada x² – 2. jadi, untuk menentukan nilai  maka fungsi 4x + 1 dan x² – 2 harus dibagi dengan x² .

    =      

                     =

                     =           

                     =        

                     =               =  0

b.      Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan  . Jika kita dimitai menyelesaikan  maka kita harus mengalikan  [f (x) + g (x)] dengan sehingga bentuknya menjadi:

      .

      =  ataupun sebaliknya.

Contoh:

 Tentukan nilai dari

Penyelesaian:

=  .

=           

=  

=

=  

=                             

                                  

B.     TEOREMA LIMIT

Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka:

1.     

2.     

3.      f (x) = kf (x)

4.      [f (x) ± g (x)] = f (x) ± g (x)

5.      v [f (x) . g (x)] = f (x) .  g (x)

6.      , dimana  g(x) ≠ 0

7.       [f (x) ]ⁿ = [f (x)]ⁿ

8.       dimana

f (x)  0 untuk n bilangan genap

f (x) ≤ 0 untuk n bilangan ganjil

Contoh:

Carilah            a. !           b.

Penyelesaian:

a)       =                  (teorema 4)

                              = 3              (teorema 3)

                              = 3            (teorema 7)

                              = 3. (4)² – 4                      (teorema 2)

                              = 3. 16 – 4      =  44

b)       =                     (teorema 6)

                           =                   (teorema 8 dan 3)

                           =               (teorema 4)

                           =            (teorema 7)

                           =                           (teorema 1 dan 2)

                           =    =     =

C.    LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus limit fungsi trigonometri:

a.       Limit fungsi sinus

1.                           

2.                                                   

3.            →       

4.            →       

b.      Limit fungsi tangens

1.   
2.   
3.             →       
4.               →       

Contoh:

Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!

a.                       b. 

Penyelesaian:

a.        = 

                           =

                           = 1 .  =

b.       =  

                           =

                                 =  1. 1 . =

                                   

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam bahasa Matematika, limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekati dari titik tertentu. Mengapa harus didekati dari titik tertentu dan bukan tepat di titik tertentu? Hal ini disebabkan tidak semua fungsi terdefinisi pada semua titik.

Faktor terpenting adalah memahami konsep dan definisi dari limit fungsi itu sendiri dan juga sifat-sifatnya.

B. Saran

Demikianlah Makalah Matematika Dasar ini, Makalah ini tentunya masih banyak kekurangan yang harus dilengkapi,untuk mencapai kesempurnaan. Kami hanyalah manusia biasa yang penuh dengan kekurangan, untuk itu penulis mohon dengan segala kerendahan hati, untuk memberikan Saran dan Kritiknya yang bersifat membangun, dengan harapan agar makalah ini bisa lebih sempurna.